พฤหัสบดี, ธันวาคม 18, 2014
   
Text Size

IP Address ท่าน คือ..

54.163.139.36

ค้นหา

งานศิลปหัตถกรรมนักเรียน 2556

ออนซอนฟิสิกส์ ได้ร่วมกิจกรรมงานศิลปหัตถกรรมนักเรียน ครั้งที่ 63 ระหว่างวันที่ 7 - 9 ตุลาคม 2556 ณ โรงเรียนบุรีรัมย์พิทยาคม สพม.32  คลิกดูภาพ

โครงการสัมมนาเชิงปฏิบัติธรรม

    บุคลากรโรงเรียนพระครูพิทยาคม เข้ารับการสัมมนาเชิงปฏิบัติธรรม ณ ศูนย์ปฏิบัติธรรมบุรีรัมย์  ต. บ้านบัว  อ. เมือง  จ. บุรีรัมย์  โดยมีบุคลากรเข้าร่วม คือ คุณครู พนักงานราชการ และ คุณครูพิเศษ รวมทั้งสิ้น 70 คน ในระหว่าวันที่ 11 - 15  กันยายน 2556  ดูภาพกิจกรรมเพิ่มเติม คลิกที่นี่

กิจกรรมสัปดาห์วิทยาศาสตร์ ปี 2556

ชมรมออนซอนฟิสิกส์ ได้เข้าร่วมกิจกรรมสัปดาห์วิทยาศาสตร์ ประจำปีการศึกษา 2556 ณ หอประชุมโรงเรียนพระครูพิทยาคม ในวันที่ 22 สิงหาคม 2556 คลิกเพื่อดูภาพกิจกรรม และได้นำเสนอความรู้เกี่ยวกับ ความเฉื่อย (inertia) ในทางฟิสิกส์ เป็นคุณสมบัติของวัตถุทั้งหมด วัตถุที่ไม่เคลื่อนที่ยังคงหยุดนิ่งจนกว่าจะมีแรงมากระทำต่อวัตถุนั้น วัตถุที่กำลังเคลื่อนที่จะยังคงเคลื่อนที่ต่อไปด้วยอัตราเร็วคงที่และทิศทาง เดิมจนกว่าจะมีแรงมากระทำเพื่อเปลี่ยนอัตราเร็วและทิศทางการเคลื่อนที่    เมื่อรถยนต์จอดนิ่งไม่เคลื่อนที่ ความเฉื่อย...

ออนซอนฟิสิกส์ในงานสัปดาห์วิทยาศาสตร์ 2556

ชมรมออนซอนฟิสิกส์ เข้าร่วมกิจกรรมสัปดาห์วันวิทยาศาสตร์ ประจำปีการศึกษา 2556 ณ โรงเรียนพระครูพิทยาคม วันที่ 22 สิงหาคม 2556   ดูภาพกิจกรรม

  • กิจกรรมเฉลิมพระเกียรติ พระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว เนื่องในโอกาสมหามงคลเฉลิมพระชนมพรรษา 87 พรรษา

    วันพฤหัสบดีที่ 04 ธันวาคม 2014 เวลา 22:45 น.
  • งานศิลปหัตถกรรมนักเรียน 2556

    วันเสาร์ที่ 12 ตุลาคม 2013 เวลา 21:51 น.
  • โครงการสัมมนาเชิงปฏิบัติธรรม

    วันพุธที่ 11 กันยายน 2013 เวลา 08:41 น.
  • กิจกรรมสัปดาห์วิทยาศาสตร์ ปี 2556

    วันเสาร์ที่ 24 สิงหาคม 2013 เวลา 01:46 น.
  • ออนซอนฟิสิกส์ในงานสัปดาห์วิทยาศาสตร์ 2556

    วันอังคารที่ 20 สิงหาคม 2013 เวลา 14:29 น.

ตรีโกณมิติ

User Rating: / 3
แย่ดีที่สุด 
 
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชันตัวย่อความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine)sin 
โคไซน์ (Cosine)cos 
แทนเจนต์ (Tangent)tan
(หรือ tg)
 
โคแทนเจนต์ (Cotangent)cot
(หรือ ctg หรือ ctn)
 
ซีแคนต์ (Secant)sec 
โคซีแคนต์ (Cosecant)csc
(หรือ cosec)
 

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
  • ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
  • ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้

1). ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h

2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h

3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b

4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a

5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

[แก้] วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

  • ข้ามฉาก ... sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ชิดฉาก ... cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ข้ามชิด ... tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด

[แก้] นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:


จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน

สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:



เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย





ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด OAB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้ (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้

  • sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
  • cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD
  • tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
  • cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF
  • sec(θ) = OE และ
  • csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
  • exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)

ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

[แก้] นิยามด้วยอนุกรม

ฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) มีค่าใกล้เคียงกับพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 7 ของมัน (สีเขียว) สำหรับวงกลมที่อยู่บนจุดกำเนิด

โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของไคโซน์คือค่าลบชองไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x:



เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูริเยร์) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

 














เขียนความคิดเห็นของคุณ

BoldItalicUnderlineStrikethroughSubscriptSuperscriptEmailImageHyperlinkOrdered listUnordered listQuoteCodeHyperlink to the Article by its id
ชื่อผู้เขียน:
หัวข้อ:
ความคิดเห็น:
  รหัส
กรอกรหัส:

ชมรมออนซอนฟิสิกส์
ที่ตั้ง :: กิโลเมตรที่ 13  ถนน บุรีรัมย์-พุทไธสง  อำเภอเมือง  จังหวัดบุรีรัมย์  31000 :: GPS  ละติจูด/ลองจิจูด 15.099714966081287 N  / 103.04489135742188 E 
E-mail :: phaithul@hotmail.com